Question

已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），過拋物線上點(diǎn)M（-2，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為，且點(diǎn)N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在x²=2py（p＞0）上可求P，可設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k，則直線MA的方程為，聯(lián)立可得，則
同理可得，由可求
（2）同（1）可知，，=，由條件知K_MA=-K_MB結(jié)合已知可得，K_MA•k_MB=-1，從而可判斷
解答：解：（1）∵在x²=2py（p＞0）上
∴4p=2p²，可得p=2
可設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k
則直線MA的方程為
聯(lián)立可得
則x_M+x_A=4k即
同理可得，
∴==
（2）同（1）可知，
則=，
由條件知K_MA=-K_MB即直線MA、MB關(guān)于MN對稱
則點(diǎn)到直線MA或MB的距離
由點(diǎn)到直線的距離公式可得k_MA²=k_MB²=1
∴K_MA•k_MB=-1∴
∴△MAB為Rt△
點(diǎn)評：本題考查拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，直線的斜率公式的應(yīng)用，綜合的知識較多，計(jì)算量較大，這也是圓錐曲線的�？嫉脑囶}．