【題目】已知定點,圓,點為圓上動點,線段的垂直平分線交于點,記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點與作平行直線和,分別交曲線于點、和點、,求四邊形面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由中垂線的性質得,可得出,符合橢圓的定義,可知曲線是以、為焦點的橢圓,由此可得出曲線的方程;
(2)設直線的方程為,設點、,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,列出韋達定理,利用弦長公式計算出,同理得出,并計算出兩平行直線、的距離,可得出四邊形的面積關于的表達式,然后利用雙勾函數(shù)的單調性可求出四邊形面積的最大值.
(1)由中垂線的性質得,,
所以,動點的軌跡是以、為焦點,長軸長為的橢圓,
設曲線的方程為,則,,
因此,曲線的方程為:;
(2)由題意,可設的方程為,
聯(lián)立方程得,
設、,則由根與系數(shù)關系有,
所以,
同理,與的距離為,
所以,四邊形的面積為,
令,則,得,
由雙勾函數(shù)的單調性可知,函數(shù)在上為增函數(shù),
所以,函數(shù)在上為減函數(shù),
當且僅當,即時,四邊形的面積取最大值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù), ).
(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)若曲線上的動點到直線的最大距離為,求的值.
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【題目】為了解運動健身減肥的效果,某健身房調查了20名肥胖者,健身之前他們的體重情況如三維餅圖(1)所示,經過四個月的健身后,他們的體重情況如三維餅圖(2)所示.對比健身前后,關于這20名肥胖者,下面結論不正確的是( )
A.他們健身后,體重在區(qū)間[90kg,100kg)內的人數(shù)不變
B.他們健身后,體重在區(qū)間[100kg,110kg)內的人數(shù)減少了4人
C.他們健身后,這20位健身者體重的中位數(shù)位于[90kg,100kg)
D.他們健身后,原來體重在[110kg,120kg]內的肥胖者體重都至少減輕了10kg
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【題目】已知兩定點,,點P滿足.
(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)若,直線l與軌跡C交于A,B兩點,,的斜率之和為2,問直線l是否恒過定點,若過定點,求出定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)的最值;
(2)已知關于的不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓()的離心率為,短軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的垂直平分線過定點,求實數(shù)的取值范圍.
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