【題目】在三棱柱 中, 平面 ,其垂足 落在直線 上.

(1)求證: ;

(2)若 的中點,求三棱錐 的體積.

【答案】(1)見解析

(2)

【解析】

(Ⅰ)欲證BC⊥A1B,可尋找線面垂直,而A1A⊥BC,AD⊥BC.又AA1平面A1AB,AD平面A1AB,A1A∩AD=A,根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB,問題得證;(Ⅱ)根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知A1A⊥面BPC,求三棱錐P﹣A1BC的體積可轉(zhuǎn)化成求三棱錐A1﹣PBC的體積,先求出三角形PBC的面積,再根據(jù)體積公式解之即可.

(Ⅰ)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱,

∴A1A⊥平面ABC,又BC平面ABC,

∴A1A⊥BC

∵AD⊥平面A1BC,且BC平面A1BC,

∴AD⊥BC.又AA1平面A1AB,

AD平面A1AB,A1A∩AD=A,

∴BC⊥平面A1AB,

A1B平面A1BC,

∴BC⊥A1B;

(Ⅱ)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥AB.

∵AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直線A1B上,

∴AD⊥A1B.

Rt∠△ABD中,,AB=BC=2,

= ,∠ABD=60°,

Rt∠△ABA1中,AA=AB tan60=2

由(Ⅰ)知BC⊥平面A1AB,AB平面A1AB,

從而BC⊥AB,=AB BC= 22=2.

∵PAC的中點,=S =1

= =.

練習冊系列答案
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A. 33B. 31C. 17D. 15

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