Question

一半徑為2

2

米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，現(xiàn)在當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)，（圖中點(diǎn)P₀）開始計(jì)時(shí)，試探究：
（1）OP旋轉(zhuǎn)的角速度ω是多少（單位：弧度/秒）
（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)嗲P距離水面的高度z（米）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為z=f（t）=Asin（ωx+φ）+2，其中A＞0，而φ（-

π

2

＜φ＜0）是以O(shè)x為始邊，OP₀為終邊的角，請(qǐng)寫出函數(shù)f（t）的解析式
（3）點(diǎn)P第二次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間是多少秒？

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得，OP旋轉(zhuǎn)的角速度ω=

5×2π

60

，計(jì)算可得速度ω．
（2）由條件可得f（t）=2

2

sin（

π

6

t+φ）+2，把點(diǎn)（0，0）代入可得sinφ=-

2

2

．結(jié)合-

π

2

＜φ＜0，可得φ 的值，可得f（t）的解析式．
（3）令 z=f（t）=2

2

+2，求得t的值．再根據(jù)水輪轉(zhuǎn)一周需要

60

5

秒，求得點(diǎn)P第二次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間．

解答： 解：（1）由題意可得，OP旋轉(zhuǎn)的角速度ω=

5×2π

60

=

π

6

（弧度/秒）．
（2）易得A=2

2

，∴z=f（t）=2

2

sin（

π

6

t+φ）+2，
把點(diǎn)（0，0）代入可得sinφ=-

2

2

．
結(jié)合-

π

2

＜φ＜0，可得φ=-

π

4

，∴z=f（t）=2

2

sin（

π

6

t-

π

4

）+2．
（3）令  z=f（t）=2

2

sin（

π

6

t-

π

4

）+2=2

2

+2，求得

π

6

t-

π

4

=

π

2

，∴t=4.5（秒）．
再根據(jù)水輪轉(zhuǎn)一周需要

60

5

=12秒，故點(diǎn)P第二次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間是4.5+12=16.5秒．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，屬于中檔題．