Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，∞．

(1)當(dāng)a＝時，求函數(shù)的最小值；

(2)若對任意x∈[1，∞，f(x)＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：先來解決第(1)問，當(dāng)a的值給定時，函數(shù)變?yōu)閒(x)＝x＋＋2，它類似于函數(shù)f(x)＝x＋，所以可以利用函數(shù)的單調(diào)性來判斷最值． 　　解：(1)當(dāng)a＝時，f(x)＝x＋＋2． 　　f(x)在[1，∞上為增函數(shù)，所以f(x)上的最小值為f(1)＝; 　　(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，∞． 　　當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正． 　　當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)在[1，∞上是增函數(shù)，故當(dāng)x＝1時，f(x)有最小值3＋a，于是當(dāng)3＋a＞0時，函數(shù)f(x)＞0恒成立，故0＞a＞－3． 　　綜上可知，當(dāng)a＞－3時，f(x)＞0恒成立． 　　說明：如果一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)，那么根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性就可以判斷出函數(shù)的極值，并結(jié)合函數(shù)的自變量在區(qū)間端點的函數(shù)值判斷出函數(shù)的最值． 　　也容易對a的分類不全面，造成解題失誤．有時不考慮在區(qū)間端點的值，也會造成解題錯誤．