Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）當a₁-a₃=3且a₁≠a₂時，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出S₁，S₂，S₃，然后根據(jù)5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將表示出的S₁，S₂，S₃代入得到關(guān)于a₁與q的關(guān)系式，由a₁≠0，兩邊同時除以a₁，得到關(guān)于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值；
（Ⅱ）由a₁≠a₂，得到公比q不為1，即q=2，利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡a₁-a₃=3，將q值代入求出a₁的值，由a₁及q的值，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可表示出S_n．
解答：解：（Ⅰ）∵5S₁、2S₂、S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=5S₁+S₃，又數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴4（a₁+a₁q）=（5a₁+a₁）+（a₁q+a₁q²），…（3分）
整理得：a₁q²-3a₁q+2a₁=0，
又a₁≠0，∴q²-3q+2=0，
解得：q=1或q=2； …（7分）
（Ⅱ）由已知a₁-a₃=3，可得：a₁-a₁q²=3，
∵a₁≠a₂，∴q≠1，
∴q=2，
∴a₁=-1，…（11分）
則S_n==1-2ⁿ．…（13分）
點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式、求和公式，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．