Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +a是奇函數(shù)
（1）求常數(shù)a的值
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并給出證明
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）= +a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（﹣x）=0

∴ +a+ +a=0，解得a=

（2）解：由（1）得f（x）= + 在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下

任取x1＜x2則

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

當x1，x2∈（0，+∞）時，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；

當x1，x2∈（﹣∞，0）時，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，

綜上知，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)

（3）解：2x→0時，f（x）→﹣ ，2x小于1趨向于1時，f（x）→﹣∞，

2x→+∞時，f（x）→ ，2x大于1趨向于1時，f（x）→+∞，

∴函數(shù)f（x）的值域是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）

【解析】（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得方程f（x）+f（﹣x）=0代入函數(shù)解析式，由此方程求出a的值；（2）由（1）函數(shù)f（x）= + ，由解析式形式知f（x）= + 在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，由定義證明即可；（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．