Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．若PA=AD=3，．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求點F到平面PCE的距離；
（3）求直線FC平面PCE所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：解法一：
（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知：需在平面PCE中尋找一條平行于AF的直線，平行主要依據(jù)中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等． 此題中取PC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，又由F為PD中點，易證四邊形AEGF是平行四邊形．
（2）在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：找（作）出一個過該點的平面與已知平面垂直，然后過該點作其交線的垂線，則得點到平面的垂線段．因為EG⊥平面PCD，所以平面PCD內(nèi)，過F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE=PC，則FH的長就是點F到平面PCE的距離．
（3）線面角大小的度量關(guān)鍵在于作出垂直于面的垂線，此題中由（2）可知：∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角．
解法二：
分別以AB、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F(xiàn)（0，，），C（，3，0），這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．
（1）取PC的中點G，連接EG，則．，因為，則，即AF∥EG．
（2）設(shè)平面PCE的法向量為．，可得：
（3）因為，由向量的數(shù)量積運算可以求得：直線FC與平面PCE所成角的大�。�
解答：解：法一：
（I）取PC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，又由F為PD中點，
則FG∥．
又由已知有，∴．
∴四邊形AEGF是平行四邊形．
∴AF∥EG．又AF平面PCE，EG⊆平面PCE．
∴AF∥平面PCE；（5分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
由ABCD是矩形有CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
∴AF⊥CD，又PA=AD=3，F(xiàn)是PD的中點
∴AF⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
由EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD
∴平面PCD內(nèi)，過F作FH⊥PC于H
由于平面PCD∩平面PCE=PC，
則FH的長就是點F到平面PCE的距離（8分）
由已知可得PD=3
由于CD⊥平面PAD
∴∠CPD=30°
∴
∴點F到平面PCE的距離為；（10分）
（III）由（II）知∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角
.
∴
∴
∴直線FC與平面PCE所成角的大小為．（14分）
法二：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
E（，0，0），F(xiàn)（0，，），C（，3，0）（2分）
（I）取PC的中點G，連接EG，
則．∵
∴即AF∥EG又AF平面PCE，EG⊆平面PCE
∴AF∥平面PCE．（6分）
（II）設(shè)平面PCE的法向量為．
即
取y=-1，得
故點F到平面PCE的距離為
．（10分）
（III），
．
∴直線FC與平面PCE所成角的大小為．（14分）
點評：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，線面關(guān)系、點到面的距離等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．