Question

某公司生產(chǎn)的A型商品通過(guò)租賃柜臺(tái)進(jìn)入某商場(chǎng)銷售.第一年，商場(chǎng)為吸引廠家，決定免收該年管理費(fèi)，因此，該年A型商品定價(jià)為每件70元，年銷售量為11.8萬(wàn)件.第二年，商場(chǎng)開始對(duì)該商品征收比率為p%的管理費(fèi)（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價(jià)上升為每件元，預(yù)計(jì)年銷售量將減少p萬(wàn)件.

（1）將第二年商場(chǎng)對(duì)該商品征收的管理費(fèi)y(萬(wàn)元)表示成p的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）要使第二年商場(chǎng)在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中收取的管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元，則商場(chǎng)對(duì)該商品征收管理費(fèi)的比率p%的范圍是多少？

（3）第二年，商場(chǎng)在所收管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？

Answer 1

解析：根據(jù)題目分析可以得到第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬(wàn)件，年銷售收入

為(11.8-p)萬(wàn)元，則商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為(11.8-p)p%（萬(wàn)元），可以得到所求函數(shù)，利用函數(shù)關(guān)系式的自變量和因變量取值范圍便可解決后面的問題.

答案：（1）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬(wàn)件，年銷售收入為(11.8-p)萬(wàn)元，則商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為(11.8-p)p%（萬(wàn)元）.

故所求函數(shù)為:y=(118-10p)p.由 11.8-p＞0及p＞0得定義域?yàn)?＜p＜.

（2）由y≥14，得(118-10p)p≥14.化簡(jiǎn)得p²-12p+20≤0，即(p-2)(p-10)≤0，

解得2≤p≤10.故當(dāng)比率在［2%，10%］內(nèi)時(shí)，商場(chǎng)收取的管理費(fèi)將不少于14萬(wàn)元.

（3）第二年，當(dāng)商場(chǎng)收取的管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元時(shí)，廠家的銷售收入為g(p)=(11.8-p)（2≤p≤10）.

∵g(p)=(11.8-p)=700(10-)為減函數(shù)，

∴g(p)_max=g(2)=700（萬(wàn)元）. 

故當(dāng)比率為2%時(shí)，廠家銷售金額最大，且商場(chǎng)所收管理費(fèi)又不少于14萬(wàn)元.