Question

已知函數(shù)f（x）=x³．
（Ⅰ）記，求φ（x）的極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù)λ的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知：f（x）=x³，∴φ（x）=x³+tx²，，
由φ'（x）=0?x=0，或，
當(dāng)t=0時(shí)，φ'（x）=3x²≥0，∴φ（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)不存在極值；
當(dāng)t＞0時(shí)，x變化時(shí)，φ'（x），φ（x）變化如下：

x				0	（0，+∞）
φ'（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由上表可知：φ（x）_極小=φ（0）=0，
當(dāng)t＜0時(shí)，x變化時(shí)，φ'（x），φ（x）變化如下：

x	（-∞，0）	0
φ'（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由上表可知：．
綜上所述，當(dāng)t＜0時(shí)，極小值為；當(dāng)t＞0時(shí)，極小值為0．
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx?h'（x）=3λ+cosx，
設(shè)兩切點(diǎn)分別為（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），則h'（t₁）h'（t₂）=-1，
即（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，，
∵λ∈R，∴方程（*）的判別式，
即，又-1≤cost₁≤1，-1≤cost₂≤1，∴，
從而可得：，
上式要成立當(dāng)且僅當(dāng)，或，
此時(shí)方程（*）的解為λ=0，
∵x≠0，∴存在λ=0，此時(shí)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（2kπ，0）（k∈Z，k≠0）處的切線和在點(diǎn)（2mπ+π，0）（m∈Z）處的切線互相垂直．
分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，解方程φ′（x）=0，然后判斷兩根左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，根據(jù)極小值的定義即可求得，注意討論參數(shù)t；
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx?h'（x）=3λ+cosx，設(shè)兩切點(diǎn)分別為（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），則h'（t₁）h'（t₂）=-1，
利用關(guān)于λ的方程有解可求得等式，進(jìn)而求得λ值及相應(yīng)切點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問題解決問題的能力．