Question

（2013•紹興一模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于O，A兩點，若△AOF的面積為b²，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A．

  3

• B．

  5

• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：利用已知條件和點到直線的距離公式可得點F到此條漸近線的距離為

bc

a2+b2

，結(jié)合漸近線的傾斜角利用解直角三角形求出△AOF的面積，從而建立等式，經(jīng)過化簡可得a、b的關(guān)系式，再利用離心率的計算公式即可得出．

解答：解：焦點F（c，0），一條漸近線y=

b

a

x，
則點F到此條漸近線的距離，即FA=

bc

a2+b2

，
在R△OAF中，OA=

FA

b a

=

ac

a2+b2

．
∴

1

2

×OA×FA=b²，即

1

2

×

ac

a2+b2

×

bc

a2+b2

=b²，
化為2b=a，
∴此雙曲線的離心率e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

5

2

．
故選D．

點評：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵．