正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點.

(1)求證:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.
(1)詳見解析；（2）.

試題分析：(1)先根據(jù)題意找到BC中點O，證明，平面，從而以O為原點構造出空間直角坐標系.在寫出平面中相關向量坐標以及的坐標，由向量的數(shù)量積為0證明線線垂直，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上問可知平面的法向量即，再通過向量的夾角公式得到這兩個法向量的夾角余弦值，經(jīng)觀察可知即為二面角余弦值.從而得到本題的解.
試題解析：（1）取BC中點O,連AO,
∵為正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中點為,以O為原點,,,的方向為,軸的正方向,建立空間直角坐標系,

則.
∴,
∵,.
∴,,∴面   
(2)設平面的法向量為,.
,∴,∴,,令,得為平面的一個法向量,由(1)知面,
∴為平面的法向量,,
經(jīng)檢驗易知二面角的余弦值為.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點．

(1)求證：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，,底面, ,為的中點，為的中點.

（Ⅰ）證明：直線平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE＝1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．

（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直棱柱

（I）證明：；
（II）求直線所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知向量
v1
，
v2
，
v3
分別是空間三條不同直線l1，l2，l3的方向向量，則下列命題中正確的是（　�。�
A．l1⊥l2，l2⊥
l3
⇒
v1
=λ
v3
(λ∈R)
B．l1⊥l2，l2∥
l3
⇒
v1
=λ
v3
(λ∈R)
C．l1，l2，l3平行于同一個平面⇒?λ，μ∈R，使得
v1
=λ
v2
+μ
v3
D．l1，l2，l3共點⇒?λ，μ∈R，使得
v1
=λ
v2
+μ
v3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在平面直角坐標系中，設A（-2，3），B（3，-2），沿軸把直角坐標平面折成大小為的二面角后，這時則的大小為　　　　　．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點．將沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時，求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，．

⑴求證：；
⑵求直線與平面所成的角；
⑶設點在棱上，，若∥平面，求的值.

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