Question

【題目】一條光線(xiàn)經(jīng)過(guò)P(2,3)點(diǎn),射在直線(xiàn)l:x＋y＋1＝0上,反射后穿過(guò)點(diǎn)Q(1,1).

(1)求入射光線(xiàn)的方程;

(2)求這條光線(xiàn)從P到Q的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】(1) 5x－4y＋2＝0. (2)

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)Q′（x′，y′）為Q關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且QQ′交l于M點(diǎn)，可得直線(xiàn)QM的方程，與l聯(lián)立可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q′的坐標(biāo)．設(shè)入射線(xiàn)與l交于點(diǎn)N，利用P，N，Q′共線(xiàn)，得到入射光線(xiàn)PN的方程；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PQ′即可．

試題解析：

(1)設(shè)點(diǎn)Q′(x′,y′)為Q關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且QQ′交l于M點(diǎn).

∵,∴kQQ′＝1.

∴QQ′所在直線(xiàn)方程為y－1＝1·(x－1),

即x－y＝0.

由

解得l與QQ′的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

又∵M為QQ′的中點(diǎn),

由此得解得

∴Q′(－2,－2).

設(shè)入射光線(xiàn)與l交點(diǎn)為N,則P、N、Q′共線(xiàn).

又P(2,3),Q′(－2,－2),得入射光線(xiàn)的方程為,

即5x－4y＋2＝0.

(2)∵l是QQ′的垂直平分線(xiàn),從而|NQ|＝|NQ′|,

∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝,

即這條光線(xiàn)從P到Q的長(zhǎng)度是.