Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的虛軸端點與一個焦點連線的中點在與此焦點對應的準線上，PQ是雙曲線的一條垂直于實軸的弦，O為坐標原點．則

.

OP

•

.

OQ

等于（　　）

A．0

B．a(chǎn)²

C．-a²

D．2a²

Answer 1

分析：首先根據(jù)雙曲線虛軸端點與一個焦點連線的中點在與此焦點對應的準線上，運用中點坐標公式和準線方程表達式，計算出c²=2a²，從而得到a²=b²，雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1．然后可以設出垂直于實軸的弦PQ端點的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標表達式結合雙曲線方程進行化簡，可得則

.

OP

•

.

OQ

等于a²．

解答：解：設A（0，-b）為虛軸的一個端點，F(xiàn)（c，0）是雙曲線的右焦點
∵虛軸端點與一個焦點連線的中點在與此焦點對應的準線上
∴AF中點G在右準線：x=

a2

c

上
∴

xG= 1 2 (0+c)= a2 c yG= 1 2 (-b+0)=- b 2

⇒

1

2

c=

a2

c

⇒c²=2a²
∵c²=a²+b²
∴a²=b²⇒雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
∵PQ是雙曲線的一條垂直于實軸的弦
∴可以設P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）
且

x02

a2

-

y02

a2

=1⇒x0 2-y02=a2
由向量數(shù)量積的坐標表達式得：

.

OP

•

.

OQ

=x₀•x₀+y₀•（-y₀）=x0 2-y02=a2
故選B

點評：本題以雙曲線的標準方程和簡單性質為載體，著重考查了向量的數(shù)量積和雙曲線的基本概念等知識點，考查了轉化與化歸的數(shù)學思想，屬于中檔題．