Question

請你為某養(yǎng)路處設(shè)計(jì)一個(gè)用于儲藏食鹽的倉庫（供融化高速公路上的積雪之用）．它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m．經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為400元/m²、100元/m²，問當(dāng)圓錐的高度為多少時(shí)，該倉庫的側(cè)面總造價(jià)（單位：元）最少？

Answer 1

【答案】分析：（法一）以角為參數(shù)，設(shè)圓錐母線與底面所成角為θ，且，則可得該倉庫的側(cè)面總造價(jià)，利用導(dǎo)數(shù)求最值；
（法二）以高為參數(shù)，設(shè)圓錐的高為xm，且x∈（0，5），則可得該倉庫的側(cè)面總造價(jià)，利用導(dǎo)數(shù)求最值．
解答：解：（法一）設(shè)圓錐母線與底面所成角為θ，且，
則該倉庫的側(cè)面總造價(jià)=，
由得，即，
經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時(shí)，側(cè)面總造價(jià)y最小，此時(shí)圓錐的高度為m．
（法二）設(shè)圓錐的高為xm，且x∈（0，5），
則該倉庫的側(cè)面總造價(jià)=，
由得，
經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時(shí)，側(cè)面總造價(jià)y最小，此時(shí)圓錐的高度為m．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力．