Question

已知f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）的圖象關(guān)于坐標原點對稱．
（1）求a的值，并求出函數(shù)F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零點；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2^x-

b

2x+1

在[0，1]內(nèi)存在零點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=log₄

k+x

1-x

，已知f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

，若不等式f^-1（x）≤g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)k的值．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數(shù)，由f（0）=0，得a=1，即可得出F（x），令F（x）=0解得即可．
（2）由題設(shè)知h（x）=0在[0，1]內(nèi)有解，即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內(nèi)有解．分離參數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）由f^-1（x）≤g（x），得log2

1+x

1-x

≤log4

k+x

1-x

，k+x≥

(1+x)2

1-x

，通過化簡、換元、利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，得a=1，
∴F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，
由（2^x）²+2^x-6=0，得2^x=2，
∴x=1，
即F（x）的零點為x=1．
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，
由題設(shè)知h（x）=0在[0，1]內(nèi)有解，即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內(nèi)有解．
∴b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，
∴2≤b≤7，
故當2≤b≤7時，函數(shù)h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]內(nèi)存在零點．
（3）由f^-1（x）≤g（x），得log2

1+x

1-x

≤log4

k+x

1-x

，k+x≥

(1+x)2

1-x

，
顯然x∈[

1

2

，

2

3

]時，k+x＞0，即k≥

2x2+x+1

1-x

．
設(shè)m=1-x，由于x∈[

1

2

，

2

3

]，
∴m∈[

1

3

，

1

2

]，于是

2x2+x+1

1-x

=

2m2-5m+4

m

=2m+

4

m

-5∈[4，

23

3

]，
∴k≥

23

3

．
故滿足條件的最小整數(shù)k的值是8．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、反函數(shù)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．