Question

5．已知函數(shù)g（x）=2alnx+x²-2x．
（Ⅰ）當$a＞\frac{1}{4}$時，討論函數(shù)g（x）的單調性；
（Ⅱ）當a=0時，在函數(shù)g（x）圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為P（x₀，y₀），試探究函數(shù)g（x）在Q（x₀，g（x₀））點處的切線與直線AB的位置關系？
（Ⅲ）試判斷當a≠0時g（x）圖象是否存在不同的兩點A、B具有（Ⅱ）問中所得出的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)g（x）的單調性；
（Ⅱ）證明函數(shù)Q點處的切線斜率與直線AB斜率相等即可；
（Ⅲ）若g（x）滿足（2）中結論，有$g'（{x_0}）=\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$，設$\frac{x_1}{x_2}=t$，則*式整理得$lnt=\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$，問題轉化成該方程在（0，1）上是否有解，從而得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（I）由題知$g'（x）=\frac{2a}{x}+2x-2=\frac{{2（{{x^2}-x+a}）}}{x}$，
因為$a＞\frac{1}{4}$時，△＜0，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；…..（4分）
（II）g（x）=x²-2x，$g'（x）=2x-2{\left.{\;}\right|_{x={x_0}}}=2{x_0}-2$，${k_{AB}}=\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{（{x_1}+{x_2}-2）（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=2{x_0}-2$，
所以函數(shù)Q點處的切線與直線AB平行；         …．（7分）
（III）設A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（0＜x₁＜x₂），
若g（x）滿足（ II）中結論，有$g'（{x_0}）=\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
即$\frac{2a}{{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}+{x_1}+{x_2}-2=\frac{{2aln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}+{x_1}+{x_2}-2$，
即$ln\frac{x_1}{x_2}=\frac{{2（{{x_1}-{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$*…．（9分）
設$\frac{x_1}{x_2}=t$，則*式整理得$lnt=\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$，問題轉化成該方程在（0，1）上是否有解；…（11分）
設函數(shù)$h（t）=lnt-\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$，則$h'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（{t-1}）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，
所以函數(shù)h（t）在（0，1）單調遞增，即h（t）＜h（1）=0，
即方程$lnt=\frac{{2（{t-1}）}}{t+1}$在（0，1）上無解，
即函數(shù)g（x）不滿足（2）中結論．…..（14分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查導數(shù)的幾何意義，考查了轉化思想的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．