Question

【題目】若關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+ax+b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，3）內(nèi)，記點（a，b）對應的區(qū)域為S．
（1）設z=2a﹣b，求z的取值范圍；
（2）過點（﹣5，1）的一束光線，射到x軸被反射后經(jīng)過區(qū)域S，求反射光線所在直線l經(jīng)過區(qū)域S內(nèi)的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點）時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：方程x2+ax+b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，3）上的幾何意義是：

函數(shù)y=f（x）=x2+ax+b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間（0，1）和（1，3）內(nèi)，

由此可得不等式組

，即 ，

則在坐標平面aOb內(nèi)，點（a，b）對應的區(qū)域S如圖陰影部分所示，

易得圖中A，B，C三點的坐標分別為（﹣4，3），（﹣3，0），（﹣1，0），

令z=2a﹣b，則直線b=2a﹣z經(jīng)過點A時z取到下邊界﹣11，經(jīng)過點C時z取到上邊界﹣2，又A，B，C三點的值沒有取到，所以﹣11＜z＜﹣2；

（2）解：過點（﹣5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線必過點（﹣5，﹣1），由圖可知

可能滿足條件的整點為（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣2，2），（﹣2，1），

再結(jié)合不等式知點（﹣3，1）符合條件，所以此時直線方程為：y+1= ﹣（x+5），

即y=x+4

【解析】（1）令f（x）=x2+ax+b，根據(jù)題意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，進而求得b＞0，a+b+1＜0，a+b+9＞0，畫出可行域，進而分別求得z的最大和最小值，答案可得．（2）過點（﹣5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線必過點（﹣5，﹣1），由圖可知，找出可能滿足條件的整點，再結(jié)合不等式知點（﹣3，1）符合條件，得到此時直線方程即可．