Question

如圖，PD是圓柱的母線，AC和BD是圓柱底面圓的互相垂直的兩條直徑，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F（1）求證：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）證明PB垂直于平面EFD內(nèi)的2條相交直線EF和DE．
（2）先證明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△PDB，求出該角的余弦值，從而求出該角的大�。�

解答：解：（1）因?yàn)镻D是圓柱的母線，AC和BD是圓柱底面圓的互相垂直的兩條直徑，
所以PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，四邊形ABCD是正方形，BC⊥CD，
所以BC⊥平面PDC，又DE?平面PDC，
所以DE⊥BC，因?yàn)镻D=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC，
于是DE⊥平面PBC，有DE⊥PB，由EF⊥PB，EF∩DE=E，
得PB⊥平面EFD．
（2）由（1）知，PB⊥平面EFD，所以PB⊥DF，∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，
設(shè)PD=DC=a，有DE=

2

2

a，
在Rt△PDB中，DF=

PD•DB

PB

=

6

3

a，
在Rt△PCB中，

EF

BC

=

PE

PB

，
得EF=

6

6

a，
于是cos∠EFD=

EF2+DF2-DE2

2EF•DF

=

1

2

，
所以∠EFD=60°．于是二面角C-PB-D的大小為60^°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定方法，及求二面角的大小的方法．