Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x．
（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁＞0，a_n+1=f'（a_n），若

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

對(duì)任意n∈N₊恒成立，求a₁的取值范圍；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=f（b_n），n∈N₊，記Cn=

1

1+bn

，S_k為數(shù)列{c_n}前k項(xiàng)和，T_k為數(shù)列{c_n}的前k項(xiàng)積，求證：

T1

S1+T1

+

T2

S2+T2

+…+

Tn

Sn+Tn

＜

7

10

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得到a_n+1=2a_n+1，利用構(gòu)造新數(shù)列的方法求出a_n+1=（a₁+1）2^n-1，進(jìn)而得到

1

1+an

=

1

1+a1

(

1

2

)n-1，再求和整理可得a1＞3-

1

2n-2

即可得到答案．
（2）由b_n+1=b_n（b_n+1）即可得到Cn=

1

1+bn

=

bn

bn+1

，進(jìn)而得到T_n=

b1

bn+1

，SK=1-

1

bk+1

，利用放縮法得到

1

bk+1

＜

1

bk2

，進(jìn)一步利用放縮法得到

n

k=1

Tk

Sk+Tk

=

n

k=1

1

bk+1

＜

1

2

+

1

6

+

1

62

+

1

64

+…+

1

62n-2

，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：函數(shù)f（x）=x²+x，
所以f′（x）=2x+1，
所以a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2（a_n+1），
所以{a_n+1}為等比數(shù)列，并且a_n+1=（a₁+1）2^n-1
所以

1

1+an

=

1

1+a1

(

1

2

)n-1
即有

n

i=1

1

1+ai

=

1

1+a1

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2- 1 2n-1

1+a1

＜

1

2

對(duì)任意n∈N₊恒成立，
即有a1＞3-

1

2n-2

對(duì)任意n∈N₊恒成立，
故a₁≥3．
（2）由題意可得：函數(shù)f（x）=x²+x，
所以b_n+1=f（b_n）=b_n（b_n+1）
所以Cn=

1

1+bn

=

bn

bn+1

所以Tn=

b1

b2

•

b2

b3

…

bn

bn+1

=

b1

bn+1

，
又由b_n+1=b_n（b_n+1）得

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
所以Cn=

1

bn

-

1

bn+1

，SK=1-

1

bk+1

，
因?yàn)閎₁=1，b_k+1=b_k（b_k+1），所以b_k+1＞b_k²，即有

1

bk+1

＜

1

bk2

又因?yàn)閎₁=1，b₂=2，b₃=6，
所以

n

k=1

Tk

Sk+Tk

=

n

k=1

1

bk+1

＜

1

2

+

1

6

+

1

62

+

1

64

+…+

1

62n-2

＜

1

2

+

1 6

1- 1 6

=

7

10

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握求數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和的方法，而在證明不等式或者證明不等式恒成立等問(wèn)題時(shí)最常用的方法是放縮法．