Question

一個數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個數(shù)x生成兩個數(shù)，一個是-x，另一個是x+3．設第n次生成的數(shù)的個數(shù)為a_n，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

 

；若x=1，前n次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個數(shù)為T_n，則T_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，一個數(shù)字生成器，生成規(guī)則可得：第1次生成1個數(shù)，第二次生成2個數(shù)，第三次生成4個數(shù)，第四次生成8個數(shù)…，以此類推知該數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n
（2）因為一個數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個數(shù)x生成兩個數(shù)，一個是-x，另一個是x+3，類推可求出數(shù)列的和．

解答：解：（1）根據(jù)題意，一個數(shù)字生成器，生成規(guī)則可得：第1次生成1個數(shù)，第二次生成2個數(shù)，第三次生成4個數(shù)，第四次生成8個數(shù)…，以此類推，第n次生成的數(shù)的個數(shù)為a_n=2^n-1，
顯然，此數(shù)列為首項為1，公比為2的等比數(shù)列．再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，則數(shù)列{a_n}的前n項和
S_n=2ⁿ-1．
（2）因為一個數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個數(shù)x生成兩個數(shù)，一個是-x，另一個是x+3．
第一次生成的數(shù)為“1”，
第二次生成的數(shù)為“-1、4”，
第三次生成的數(shù)為“1、2、-4、7”，
第四次生成的數(shù)為“-1、4、-2、5、4、-1、-7、10”
…
可觀察出：
第一次生成后前1次所有數(shù)中不同的個數(shù)為“1”，
第2次生成后前2次所有數(shù)中不同的個數(shù)為“3”，
第三次生成后前3次所有數(shù)中不同的個數(shù)為“6”，
第四次生成后前4次所有數(shù)中不同的個數(shù)為“10”，
…
以此類推以后為公差為4的等差數(shù)列．則易得數(shù)中不同的數(shù)的個數(shù)為T_n，則T_n=
所以，應填上Tn=

1(n=1)    3(n=2) 4n-6(n≥3)

點評：本題主要考查數(shù)列求和以及求數(shù)列遞推式的知識點，主要利用不完全歸納法，不完全歸納法是解決數(shù)列問題的常用方法，尤其是在解決選擇題和填空題上．要認真觀察分析其特征，然后歸納出規(guī)律，并用通項的代數(shù)式表示，還要注意驗證．