Question

已知，函數(shù)f（x）=

x+1

e2x

．
（1）如果x≥0時(shí)，f（x）≤

m

x+1

恒成立，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)a≤2時(shí)，求證：f（x）ln（2x+a）＜x+1．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件化簡f（x）≤

m

x+1

得m≥

(x+1)2

e2x

＞0，轉(zhuǎn)化為

m

≥

x+1

ex

，令g(x)=

x+1

ex

 （x≥0）利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，即可確定m的取值范圍；
（2）利用分析法，要證f（x）ln（2x+a）＜x+1可轉(zhuǎn)化為證

x+1

e2x

ln(2x+a)＜x+1，由a≤2得只需證h（t）=e^t-ln（t+2）＞0，（t=2x＞-2）即可，利用導(dǎo)數(shù)求出h（t）的最小值大于0即可得證．

解答： 解：（1）∵x≥0，f(x)≤

m

x+1

，
∴m≥

(x+1)2

e2x

＞0，
∴

m

≥

x+1

ex

．
令g(x)=

x+1

ex

 （x≥0），
∵g′(x)=

-x

ex

≤0，
∴g（x）遞減，
∴g（x）_max=g（0）=1，
∴m的取值范圍是[1，+∞）
（2）證明：當(dāng)a≤2時(shí)，
p（x）=f（x）ln（2x+a）-（x+1）的定義域(-

a

2

，+∞)⊆(-1，+∞)，
∴x+1＞0，
要證

x+1

e2x

ln(2x+a)＜x+1，
只需證ln（2x+a）＜e^2x，
又∵a≤2，
∴只需證ln（2x+2）＜e^2x，
即證h（t）=e^t-ln（t+2）＞0，（t=2x＞-2）
∵h′(x)=et-

1

t+2

（t＞2）遞增，
h′(-1)=

1

e

-1＜0，h′(0)=1-

1

2

＞0，
∴必有t₀∈（-1，0），使h′（t₀）=0，
即et0=

1

t0+2

，
即t₀=-ln（t₀+2），
且在（-2，t₀）上，h′（t）＜0；
在（t₀，+∞）上，h′（t）＞0，
∴h(t)min=et0-ln(t+2)
=

1

t0+2

+t0
=

(t0+1)2

t0+2

＞0，
∴h（t）=e^t-ln（t+2）＞0，
即f（x）ln（2x+a）＜x+1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，屬于難題．