已知f(logax)=
1
a-1
(x-
1
x
)
(其中a是大于1的常數(shù))
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式
(2)探討函數(shù)y=f(x)的性質(zhì),并利用其性質(zhì)解不等式f(1-m)+f(1-m2)<0.
考點(diǎn):對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)設(shè)t=logax,a>1,t∈R則x=at,代入即可求解函數(shù)式子.(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)判斷單調(diào)性,在運(yùn)用奇偶性的定義判斷為奇函數(shù),即可求解1-m2<m-1,就能夠得到答案.
解答: 解:(1)設(shè)t=logax,a>1,t∈R則x=at,
∵f(logax)=
1
a-1
(x-
1
x
)
(其中a是大于1的常數(shù))
∴f(t)=
1
a-1
(at-a-t),(其中a是大于1的常數(shù))
∴函數(shù)y=f(x)=
1
a-1
(ax-a-x),(a>1,常數(shù))
(2)∵f(-x)=)=
1
a-1
(a-x-ax)=-f(x),(a>1,常數(shù))
∴f(x)為奇函數(shù),
∵x1<x2,a x1ax2,a -x1>a -x2,
∴a x1-ax2<0,a -x1-a -x2>0,
∴f(x1)-f(x2)=
1
a-1
((a x1-ax2)-(a -x1-a-x2))<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴函數(shù)y=f(x)=
1
a-1
(ax-a-x),(a>1,常數(shù))單調(diào)遞增函數(shù).
∵不等式f(1-m)+f(1-m2)<0.
∴1-m2<m-1,
m2+m-2>0,
即m>1或m<-2,
故不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集為:(-∞,-2)∪(1,+∞)
點(diǎn)評:本題考察了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,運(yùn)用解決不等式,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線l,切點(diǎn)為T,且l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,若點(diǎn)M是線段FP的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OM|-|TM|=(  )
A、
b-a
2
B、b-a
C、
a+b
2
D、a+
b
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式|
x+1
x-1
|<x的解集是(  )
A、{x|0x<1}∪{x|x>1}
B、{x|1-
2
<x<1}∪{x|x>1+
2
}
C、{x|-1x<0}
D、{x|x>1+
2
}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=
log2x,x>0
log
1
2
(-x),x<0
,若a•f(-a)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(-1,0)∪(1,+∞)
B、(-∞,-1)∪(0,1)
C、(-∞,-1)∪(1,+∞)
D、(-1,0)∪(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知C的參數(shù)方程為
x=3cost
y=3sint
(t為參數(shù)),C在點(diǎn)(0,3)處的切線為l,則l的方程為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0]時,函數(shù)解析式為f(x)=
1
4x
-
b
2x
(b∈R)
(Ⅰ)求b的值,并求出f(x)在[0,1]上的解析式;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件
x+2y≤4
y≥0
x+y≥1
,則z=2x-y的最小值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知以點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M(-1,0)、N(1,0)距離的比為
2
,點(diǎn)N到直線PM的距離為1,求直線PN的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>1時,f(x)>0.
(Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅱ)求證f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅲ)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,求x的取值范圍.

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