定義域是R的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”．有下列關(guān)于“A的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)“；
②f（x）=x2是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)“；
③“2的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、0
分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對(duì)①②③逐個(gè)判斷即可得到答案．
解答：解：①設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，
由f（x+λ）+λf（x）=0得，（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，
因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ的相關(guān)函數(shù)”，故①不正確；
②用反證法，假設(shè)f（x）=x2是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，
所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式無解，
所以f（x）=x2不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故②不正確；
③由“2的相關(guān)函數(shù)”即λ=2，得f（x+2）+2f（x）=0，
令x=0代入上式得，f（2）+2f（0）=0，所以f（2）=-2f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
若f（0）≠0，f（2）•f（0）=-2f2（0）＜0，
又∵f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，
∴由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)f（x）在（0，2）上必有實(shí)數(shù)根．
因此任意的因此任意的“2的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確，
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，及反證法與函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)定義域是Df．Dg的函數(shù)y=f（x）．y=g（x），
規(guī)定：函數(shù)h（x）=
f(x)g(x)，當(dāng)x∈Df且x∈Dg
f(x)，當(dāng)x∈Df且x∉Dg
g(x)，當(dāng)x∉Df且x∈Dg
．
（1）若函數(shù)f（x）=
1
x-1
，g（x）=x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），及一個(gè)α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列敘述
①對(duì)于函數(shù)f（x）=-x2+1，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有
f(x1)+f(x2)
2
＜f（
x1+x2
2
）；
②設(shè)f（x）=
1+x2
1-x2
則f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2012
）=0；
③定義域是R的函數(shù)y=f（x）在[a，b）上遞增，且在[b，c]上也遞增，則f（x）在[a，c]上遞增；
④設(shè)滿足3x=5y的點(diǎn)P為（x，y），則點(diǎn)P（x，y）滿足xy≥0．
其中正確的所有番號(hào)是：
①②④
①②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=
f(x)•g(x)    當(dāng)x∈Df且x∈Dg
1      當(dāng)x∈Df且x∉Dg
-1   當(dāng)x∉Df且x∈Dg
．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，寫出h（α）的解析式；
（2）寫出問題（1）中h（α）的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），及一個(gè)α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于以下命題
①若（
1
2
）a=（
1
3
）b，則a＞b＞0；
②設(shè)a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a2+b2=c2+d2=1，則abcd的最小值為-
1
4
；
③若x＞0，則（（2-x）ex＜x+2；
④若定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），滿足f（x）+f（x+2）=2，則其圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是
 
（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

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