精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F(xiàn)為CE上的點,且BF⊥平面ACE.
(1)求三棱錐D-AEC的體積;
(2)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點N,使得MN∥平面DAE.
分析:(1)轉(zhuǎn)化頂點,以平面ADC為底,取AB中點O,連接OE,因為OE⊥AB,OE⊥AD,得到OE⊥面ADC,所以O(shè)E為底面上高,分別求得底面積和高,再用三棱錐的體積公式求解;
(2)在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點,在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點,連MN,證明平面MGE∥平面ADE,可得MN∥平面ADE,從而可得結(jié)論.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)取AB中點O,連接OE.
因為AE=EB,所以O(shè)E⊥AB.
因為AD⊥面ABE,OE?面ABE,所以O(shè)E⊥AD,
所以O(shè)E⊥面ABD.
因為BF⊥面ACE,AE?面ACE,所以BF⊥AE.
因為CB⊥面ABE,AE?面ABE,所以AE⊥BC.
又BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.
又BE?面BCE,所以AE⊥EB.
所以△AEB為等腰直角三角形,所以AB=2
2
,所以AB邊上的高OE為
2

所以VD-AEC=VE-ADC=
1
3
×2
2
×
2
=
4
3

(2)在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點,在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點,連MN,所以CN=
1
3
CE.
因為MG∥AE,MG?平面ADE,AE?平面ADE,
所以MG∥平面ADE.
同理,GN∥平面ADE,且MG與GN交于G點,
所以平面MGE∥平面ADE.
又MN?平面MGN,所以MN∥平面ADE.
所以N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點.
點評:本題考查三棱錐體積的求法,考查線面平行,轉(zhuǎn)換底面,證明面面平行是關(guān)鍵,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形,點E是A′A的中點,A′A⊥平面ABCD.
(1) 求證:A′C∥平面BDE;
(2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
(3) 求平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面DCQ;
(Ⅱ)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD為矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,PA=1,E為BC的中點.
(1)求點C到面PDE的距離;  
(2)求二面角P-DE-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果它的一個外角∠DCE=64°,那么∠BOD
128°
128°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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