Question

已知數(shù)列{a_n}滿足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n為其前n項的和，a₁=2
（I）證明：數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）；
（II）求數(shù)列的前n項和T_n；
（III）是否存在無限集合M，使得當n∈M時，總有成立，若存在，請找出一個這樣的集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）∵3S_n=（n+2）a_n，①
∴3S_n-1=（n+1）a_n-1，②
①-②得：3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，
則有，
，
，
．
兩端同時求積得：，
即a_n=n（n+1）．
（II） 由==，
，
，
．
兩端同時求和得：=，
即T_n=．
（III）存在無限集合M，使得當n∈M時，
總有成立．
|T_n-1|=||=，
則|T_n-1|＜成立，即n＞9．
所以，取M={10，11，12，13，14，…} 即可．
分析：（I）由3S_n=（n+2）a_n，知3S_n-1=（n+1）a_n-1，所以（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，，，，．兩端同時求積能夠證明a_n=n（n+1）．
（II） 由==，知，，．兩端同時求和能夠得到數(shù)列的前n項和T_n．
（III）存在無限集合M，使得當n∈M時，總有成立．|T_n-1|=||=，則n＞9．由此能求出無限集合M．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查推理論證能力，有一定的探索性，綜合性強，難度大，是高考的重點，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．