Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列且a₁=1，a₅=5；數(shù)列{b_n}是正項等比數(shù)列，且b₁=2，b₂+b₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，易求d=1，設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，由b₁=2，b₂+b₃=12可求得q，從而可得數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）由（1）知，a_n•b_n=n•2ⁿ，T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a₁+4d=5，又a₁=1，
解得d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁=2，b₂+b₃=12，
∴2q+2q²=12，
解得q=2，
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知，a_n•b_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：
T_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，突出錯位相減法求和，屬于中檔題．