Question

設(shè)m、k為整數(shù)，方程mx²-kx+3=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，則m+k的最小值為（　�。�

A．-8

B．8

C．13

D．18

Answer 1

分析：設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-kx+3，利用條件方程mx²-kx+3=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可．

解答：解：∵方程mx²-kx+3=0，
∴設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-kx+3，則f（0）=3＞0，
∵方程mx²-kx+3=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．且m＞0．
即m＞0時(shí)，

△=k2-12m＞0 f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -k 2m ＜1

，即

k2-12m＞0 m-k+3＞0 0＜k＜2m

．
設(shè)z=m+k，
則k=-m+z，
設(shè)x=m，y=k，
則不等式組為

y2-12x＞0 x-y+3＞0 0＜y＜2x

，
當(dāng)x=7時(shí)，不等式組為

y2＞84 y＜10 y＜14

，此時(shí)不等式組無解．
當(dāng)x=8時(shí)，不等式組為

y2＞96 y＜11 y＜16

，此時(shí)y=10．

當(dāng)x=9時(shí)，不等式組為

y2＞108 y＜12 y＜18

，此時(shí)y=11．
∴當(dāng)x=8，y=10時(shí)，x+y=18最小．
故m+k的最小值18，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的聯(lián)系，解答要注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）將一元二次方程根的分布轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)來處理；（2）將根據(jù)不等式組求兩個(gè)變量的最值問題處理為規(guī)劃問題；（3）作出不等式表示的平面區(qū)域時(shí)注意各個(gè)不等式表示的公共區(qū)域；（4）不可忽視求得最優(yōu)解是整點(diǎn)．