Question

已知向量

a

=(m，n)，

b

=(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R，若|

a

|=4|

b

|，則當(dāng)

a

•

b

＜λ2恒成立時實數(shù)λ的取值范圍是

λ＞2或λ＜-2

．

Answer 1

分析：由已知中

b

=(cosθ，sinθ)，我們可以得到|

b

|=1，再由|

a

|=4|

b

|可設(shè)

a

=(4sinα，4cosα)，代入平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，求出

a

•

b

的取值范圍，結(jié)合函數(shù)恒成立的條件，可以得到一個關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得到實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：∵

b

=(cosθ，sinθ)，|

a

|=4|

b

|，
∴設(shè)

a

=(4sinα，4cosα)
則

a

•

b

=4sinα•cosθ+4cosα•sinθ=4sin（α+θ）∈[-4，4]
若

a

•

b

＜λ2恒成立
則λ²＞4
解得λ＞2或λ＜-2
故答案為：λ＞2或λ＜-2．

點評：本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運算、函數(shù)恒成立問題、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．