在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AD=AB=1，BC=
2

（Ⅰ）求異面直線AD與SC所成角的大��；
（Ⅱ）求直線SC與平面SBD所成角的正弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出異面直線AD與SC所成的角就是BC與SC所成的角（或其補(bǔ)角），由此能求出異面直線AD與SC所成角的大小．
（Ⅱ）設(shè)C到平面SBD的距離為h，由VC-SBD=VS-BCD，得h=
S△BCD•SA
S△SBD
=
6
3
，由此能求出直線SC與平面SBD所成角的正弦值．
解答： 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴異面直線AD與SC所成的角就是BC與SC所成的角（或其補(bǔ)角）．
連結(jié)AC，BD…（3分）
由已知有SB2=SA2+AB2=2，AC2=AB2+BC2=3，SC2=SA2+AC2=4
∴SC2=SB2+BC2，∴△SBC是等腰直角三角形，∴∠SCB=45°，
∴異面直線AD與SC所成角為45°．…（6分）
（Ⅱ）由題意知SD=SB=BD=
2
，
∴S△SBD=
1
2
×
2
×(
3
2
×
2
)=
3
2
，
直角梯形ABCD中，
S△BCD=
1
2
×
2
×1=
2
2
，…（8分）
設(shè)C到平面SBD的距離為h，
由VC-SBD=VS-BCD，得h=
S△BCD•SA
S△SBD
=
6
3
，…（10分）
由（Ⅰ）知SC=2，
設(shè)SC與平面SBD所成角為θ，則有sinθ=
h
SC
=
6
6
，
∴直線SC與平面SBD所成角的正弦值
6
6
．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=-2014，其前n項(xiàng)和為Sn，若
S12
12
-
S10
10
=2，則S2014的值為（　�。�
A、-2011
B、-2012
C、-2013
D、-2014

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=2an-1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
2n
an•an+1
，試判斷數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn與
1
3
的大小關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是1200（單位：萬元），生產(chǎn)成本c（單位：萬元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位：萬件）的立方成正比；該產(chǎn)品單價p（單位：元）的平方與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位萬件）成反比，現(xiàn)已知生產(chǎn)該產(chǎn)品100萬件時，其單價p=50元，生產(chǎn)成本c=
8
3
×104萬元，且工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷售完．設(shè)工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤f（x）（萬元）．（注：利潤=銷售額-固定成本-生產(chǎn)成本）
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)生產(chǎn)該產(chǎn)品的件數(shù)x（萬件）為多少時，工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：（1）
3
-
2
＞
6
-
5
；
（2）1，
2
，3不可能是一個等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解某社區(qū)居民的月收入情況，從該社區(qū)成人居民中抽取10000人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖．

（Ⅰ）為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，試求其中月收入在[2000，2500）（2000元至2500元之間）的人數(shù)；
（Ⅱ）為了估計從該社區(qū)任意抽取的3個居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率P，特設(shè)計如下隨機(jī)模擬的方法：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，依次用0，1，2，3，…9的前若干個數(shù)字表示月收入在[2000，3000）的居民，剩余的數(shù)字表示月收入不在[2000，3000）的居民；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表收入的情況．假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法已產(chǎn)生了表中的20組隨機(jī)數(shù)，請根據(jù)這批隨機(jī)數(shù)估計概率P的值．
907  966   191   925   271   932   812   458  569  683
431   257   393   027   556   488  730   113   537   989
（Ⅲ）任意抽取該社區(qū)的5位居民，用ξ表示月收入在[2000，3000）（元）的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望與方差．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），記η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，則稱點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P1、P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線．
（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（-1，0）被直線x+y-1=0分隔；
（2）若直線y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列不等式：
2
3
＜
2+1
3+1
，
2
3
＜
2+2
3+2
，
2
3
＜
2+3
3+3
，
2
3
＜
2+4
3+4
，…
照此規(guī)律，寫出第n個不等式，然后判斷這個不等式是否成立并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知An（n，an）、Bn（n，bn）、Cn（n-1，0）（n∈N*），滿足向量
A1An+1
與向量
BnCn
共線，且點(diǎn)Bn（n，bn）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上．
（1）試用a1，b1與n來表示an；
（2）設(shè)a1=a，b1=-a，且12＜a≤15，求數(shù){an}中的最小值的項(xiàng)．

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同步練習(xí)冊答案