Question

如圖，橢圓C：

x2

36

+

y2

20

=1的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，直線l的方程x=9，N為l上位于x軸上方的一點．
（1）設(shè)線段AN與橢圓C交于點M，且點M是線段AN的中點，求證：MA⊥MF；
（2）過三點A，F(xiàn)，N的圓與y軸交于P，Q兩點，求線段PQ的長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出A，F(xiàn)的坐標(biāo)，并根據(jù)條件設(shè)設(shè)N（9，t），進(jìn)而表示出M點坐標(biāo)并代入橢圓方程求出M、N的坐標(biāo)，再表示出向量MA與MF的積

MA

•

MF

=

15

2

•(-

5

2

) +

5 3

2

•

5 3

2

=0從而得出結(jié)論．
（2）設(shè)圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，并把A，F(xiàn)，N代入列出方程并解方程求出D、E、F，得到圓方程為x²+y²+2x-

t2+75

t

y-24=0，然后令x=0得到關(guān)于x、y的一元二次方程利用韋達(dá)定理表示出PQ并利用均值不等式即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知a=6，b=2

5

，c=4
∴A（-6，0），F(xiàn)（4，0）
設(shè)N（9，t）（t＞0），則M（

3

2

，

t

2

）
∵M(jìn)在橢圓上，∴

9 4

36

+

t2 4

20

=1
∵t＞0∴t=5

3

，則N（9，5

3

）
∴M（

3

2

，

5 3

2

）

MA

=(

15

2

，

5 3

2

)，

MF

=(-

5

2

，

5 3

2

)
∵

MA

•

MF

=

15

2

•(-

5

2

) +

5 3

2

•

5 3

2

=0
∴MA⊥MF
（2）設(shè)點A、F、N的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
把A、F、N三點的坐標(biāo)代入上式，得
36-6D+F=0   ①
16+4D+F=0 ②
81+t²+9D+Et+F=0  ③
聯(lián)立①②③得，
D=2，F(xiàn)=-24
E=-

t2+75

t

則圓的方程為：x²+y²+2x-

t2+75

t

y-24=0
令x=0．得y²-

t2+75

t

y-24=0
∴PQ=|y1-y2|=

(t+ 75 t )2+96

≥

(2 t• 75 t )2+96

=6

11

當(dāng)且僅當(dāng)t=

75

t

即t=5

3

時，PQ取得最小值．
則PQ的長的取值范圍是[6

11

，+∞）

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題以及向量的運用，在圓錐曲線中靈活運用向量的知識，會使問題簡單化，對于最值和取值范圍的問題均值不等式是常用方法，但要注意均值不等式的條件．