Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函數(shù)y=f（2x+）的圖象關(guān)于直線x=對稱．
（1）求φ的值；
（2）若f（a-）=，求sin2a的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），…（2分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．…（3分）
∵函數(shù)y=f（2x+）=sin[（2x+）+φ]=sin（2x++φ），
且函數(shù)y=sin（2x++φ）圖象關(guān)于直線x=對稱，…（5分）
∴x=滿足2x++φ=+kπ，k∈Z
代入得++φ=+2kπ，
結(jié)合0＜φ＜π取k=1，得φ=…（7分）
（2）∵f（a-）=sin（a-+）=sin（a+），…（9分）
∴sin（a+）=（sina+cosa）=，可得sina+cosa=，…（11分）
兩邊平方，得（sina+cosa）²=，即sin²a+2sinacosa+cos²a=
∵sin2a=2sinacosa
∴1+sin2a=，解之可得sin2a=-…（14分）
分析：（1）利用兩角和的正弦公式合并可得f（2x+）=sin（2x++φ），再用三角函數(shù)對稱軸方程的公式建立關(guān)于φ的等式，結(jié)合題意可解出φ=；
（2）將a-代入（1）中求出的表達(dá)式，化簡整理可得sin（a+）=，結(jié)合兩角和的正弦公式可得sina+cosa=，再將此式平方，并結(jié)合二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可算出sin2a的值．
點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱，求φ的值并通過函數(shù)解析式求另一個(gè)角的正弦值．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．