(1)求雙曲線的方程;
(2)過點F的直線l,交雙曲線于A、B兩點,若弦長|AB|不超過4,求l的傾斜角范圍.
解析:(1)設(shè)焦點F(c,0),由題意得
(-c)2+1=1,∴c=,
則點F的坐標(biāo)為(,0),∴a2+b2=2. ①
又∵P(,1)在雙曲線上,
∴=1. ②
由①②得a2=1或a2=4(舍去),
∴b2=1.
從而雙曲線方程為x2-y2=1.
(2)①當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)l:y=k(x-)代入雙曲線方程得:
(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0.
|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=≤42.
即-2≤≤2,
解得k2≤或k2≥3.
∴-≤k≤或k≤-或k≥.
∴0≤α≤或≤α<,
<α≤或≤α<π.
②當(dāng)直線l的斜率不存在時,容易驗證也滿足題意.此時傾斜角為.
∴l(xiāng)的傾斜角的范圍是[0,]∪[,]∪[,π].
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