已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
π
2
)=1．給出下列結(jié)論：f(
π
4
)=
1
2
；②f（x）為奇函數(shù)；③f（x）為周期函數(shù)；④f（x）在（0，x）內(nèi)單調(diào)遞減．其中正確的結(jié)論序號(hào)是（　�。�
A、②③B、②④C、①③D、①④
分析：令x=y=
π
4
可求出f（
π
4
）的值，得知①不對(duì)排除CD．由x=
π
2
可知f（x）在（0，x）內(nèi)單不是調(diào)遞減排除B．
解答：解：令x=y=
π
4
，根據(jù)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
π
2
)=1．
∴f(
π
2
)+f(0)=2f(
π
4
)  •
2
2
∴f(
π
4
)=
2
2
故①不對(duì)
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，則
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函數(shù)   故②對(duì)．
令x=
π
2
，由f（0）=0，f（
π
2
）=1知④不對(duì)
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題．抽象函數(shù)值、單調(diào)性、周期性、奇偶性經(jīng)常是考查重點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•石家莊二模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x+1）為偶函數(shù)，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x）f（x+2）=5，若f（2）=3，則f（2012）=
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在（4，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=4，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
（1）求a值；
（2）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（4）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（4x-b）+f（-2x+1）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=-f（x），當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，如果x1+x2＞4且（x1-2）（x2-2）＜0，則f（x1）+f（x2）的值（　　）

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