Question

（本題滿分16分）
已知函數(shù),.
（Ⅰ）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）當(dāng)a<-1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

解：（Ⅰ）
.            ……3分
依題意得, 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.      ……6分
（Ⅱ），設(shè)，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-e，f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù). ……8分
（2）當(dāng)a<0時(shí)，方程=0的判別式為，
令, 解得a=0（舍去）或a=-1.
1°當(dāng)a=-1時(shí)，，
即，
且f’(x)在x=-1兩側(cè)同號，僅在x=-1時(shí)等于，
則f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).               ……10分
2°當(dāng)-1<a<0時(shí)，，則恒成立，
即f’(x)<0恒成立，則f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).  ……11分
3°a<-1時(shí)，，令g(x)=0，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
，
作差可知，
則當(dāng)時(shí)，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，g(x)>0，f’(x)>0，
F(x)在上為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上為單調(diào)減函數(shù). ……15分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為R；當(dāng)a<-1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.       ……16分
思路分析：第一問利用依題意得, 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
第二問中，，設(shè)，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-e，f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù). ……8分
（2）當(dāng)a<0時(shí)，方程=0的判別式為，
令, 解得a=0（舍去）或a=-1.
構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性。