Question

13．如圖，等腰梯形的下底邊AB=2，上底邊CD=1，兩腰AD=BC=1，動點P從點B開始沿著邊BC，CD與DA運動，記動點P的軌跡長度為x，將點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖象大致為（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰梯形的知識得到∠ABC=∠DAC=60°，等腰梯形的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)余弦定理即可表示AP，繼而得到，f（x）=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+3}$，0≤x≤1，再根據(jù)題意分別求出點P在幾個特殊點的位置時，f（x）的值，比較其大小，得到函數(shù)的變化趨勢，即可判斷．

解答 解：∵等腰梯形的下底邊AB=2，上底邊CD=1，兩腰AD=BC=1，
∴∠ABC=∠DAC=60°，等腰梯形的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
①當(dāng)P在BC上運動時，由余弦定理可得
AP²=AB²+BP²-2AB•BP•cos60°=4+x²-2•x•2•$\frac{1}{2}$=x²+4-2x=（x-1）²+3
∴f（x）=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+3}$
當(dāng)x=0時，f（0）=2，
當(dāng)x=1時，f（1）=1+$\sqrt{3}$，
②當(dāng)點P在CD上運動時，假如運動到CD的中點時，此時AP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，BP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，則f（1.5）=$\sqrt{7}$，
③當(dāng)點P在運動點D時，此時f（2）=f（1）=1+$\sqrt{3}$，
④當(dāng)點P在運動點A時，此時f（3）=f（0）=2，
∵1+$\sqrt{3}$＞$\sqrt{7}$＞2，
∴f（1）=f（2）＞f（1.5）＞f（0）=f（3），
∴函數(shù)f（x）先增大，再減少，再增大，再減少，且變化不是直線型，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)條件先求出0≤x≤1時的解析式是解決本題的關(guān)鍵．