Question

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村位于一個邊長為a公里的正三角形的三頂點上，鄉(xiāng)鎮(zhèn)在對外經(jīng)濟改革開放政策中已獲得一外資項目，準(zhǔn)備在位于∠BAC的角平分線上的選址E處（記∠EBD=θ），修建一農(nóng)副產(chǎn)品加工廠，要求使得E到三村的中敦f（θ）盡可能的�。�
（1）試求出f（θ）關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）間θ為何值時，f（θ）最��？試述理由．

Answer 1

分析：（1）利用θ表示BE、ED，進(jìn)而可得f（θ）關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）構(gòu)造函數(shù)g(θ)=

2-sinθ

cosθ

（0≤θ≤

π

3

），求導(dǎo)函數(shù)，求得θ=

π

6

時，g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值，從而可得f（θ）最小值及θ的值．

解答：解：（1）由題意得cosθ=

a 2

BE

，sinθ=

ED

BE

，
∴BE=

a

2cosθ

，ED=

asinθ

2cosθ

∴f（θ）=2BE+

3

2

a-ED=

a

2

•

2-sinθ

cosθ

+

3

2

a（0≤θ≤

π

3

）；
（2）構(gòu)造函數(shù)g(θ)=

2-sinθ

cosθ

（0≤θ≤

π

3

），
∴g′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

（0≤θ≤

π

3

）；
令g′（θ）=0，可得sinθ=

1

2

，
∵0≤θ≤

π

3

，∴θ=

π

6

當(dāng)0≤θ＜

π

6

時，g′（θ）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)

π

6

＜θ≤

π

3

時，g′（θ）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
所以θ=

π

6

時，g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值g(

π

6

)  =

3

因為a＞0，所以g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值時，f（θ）最小為

3

a，此時θ=

π

6

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)知識解決實際問題，考查函數(shù)模型的確立，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值．