如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，點E在上，且

（I）證明：；

（Ⅱ）求以為棱，與為面

    的二面角的大小；

 

解法一：

（I）證明：因為底面是菱形，，

 所以，在中，

 由知

同理，所以平面

 

 

（Ⅱ）解：作交于，

由平面

知平面作于，連接，

則即為二面角的平面角。

又所以

從而

（Ⅲ）當是棱的中點時，平面證明如下，

取的中點，連結，則①

由   知是的中點

連結，設，則為的中點。

所以    ②

由①、②知，平面平面。

又  平面，所以平面

解法二：

（I）證明：因為底面是菱形，，

所以在中，

由 知

同理，，所以平面

（Ⅱ）解：以A為坐標原點，直線分別為軸，軸，過點垂直平面 的直線為軸，建立空間直角坐標系如圖，由題設條件，相關各點的坐標分別為

所以

 

 

設是平面的一個法向量。

則

=0

令得即

又由已知是平面的一個法向量，且

， 

（Ⅲ）（法一）設點是棱上的點，其中，則  

       

    由（Ⅱ）知是平面的一個法向量

     即

    解得

   即是的中點時，。/

   又平面，所以當是棱的中點時，平面

  （法二）當是棱的中點時，平面，證明如下：

   因為

   

    所以   共面。

    又平面，從面平面

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）證明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大小：
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=
2
SA，點P在SD上，且SD=3PD．
（1）證明SA⊥平面ABCD；
（2）設E是SC的中點，求證BE∥平面APC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點E、F、G分別為CD、PD、PB的中點．PA=AD=2．
（1）證明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F-AE-D的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2
2
，點F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成角的大��；
（Ⅲ）若點E在棱PD上，當
PE
PD
為多少時二面角E-AC-D的大小為
π
6
？

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