Question

1．在圓x²+y²=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡記作曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若點M在曲線C上，且MF₁⊥MF₂，求三角形△MF₁F₂的面積${S_{△M{F_1}{F_2}}}$．

Answer 1

分析 （1）設P（x₀，y₀），M（x，y），D（x₀，0），由M是PD的中點，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，又P在圓x²+y²=4上，可得x02+y02=4，代入化簡即可得出．
（2）設|MF₁|=m，|MF₂|=n，則m+n=2a=4，m²+n²=（2c）²=12，聯(lián)立解得mn，即可得出．

解答 解：（1）設P（x₀，y₀），M（x，y），D（x₀，0），∵M是PD的中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，又P在圓x²+y²=4上，
∴x02+y02=4，即x²+4y²=4，$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴線段PD的中點M的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設|MF₁|=m，|MF₂|=n，則m+n=2a=4，m²+n²=（2c）²=12，
聯(lián)立解得mn=1，
∴三角形△MF₁F₂的面積${S_{△M{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、勾股定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．