Question

24.已知函數(shù)f（x）=

 

其中f₁（x）=－2（x－）²+1，f₂（x）=－2x+2.

 

（Ⅰ）在下面坐標系上畫出y=f（x）的圖象；

 

（Ⅱ）設(shè)y=f₂（x）（x[]）的反函數(shù)為y=g（x），a₁=1，a₂=g（a₁），…，a_n=g（a_n－1）；

 

求數(shù)列｛a_n｝的通項公式，并求；

 

（Ⅲ）若x₀[0，），x₁=f（x₀），f（x₁）=x₀，求x₀.

Answer 1

24.本小題主要考查函數(shù)及數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，考查分析、歸納、推理、運算的能力.

解：

（Ⅰ）函數(shù)圖象：

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

說明：圖象過（0，）、（，1）、（1，0）點；在區(qū)間[0， ）上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間[，1]上的圖象為直線段.

 

 

（Ⅱ）f₂（x）=－2x+2，x∈[，1]的反函數(shù)為：y=1－，x∈[0，1].     

 

由已知條件得：

a₁=1，

 

a₂=1－，

 

a₃=1－，

 

a₄=1+（）¹+，

……

∴=，

即　，　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

∴.　　　　　　　　　　　　　

 

 

（Ⅲ）由已知x₀∈[0，），

 

∴x₁=f₁（x₀）=1－2（x₀－）².

 

由f₁（x）的值域，得x₁∈[]，

 

∴f₂（x₁）=2－2[1－2（x₀－）²]=4（x₀－）².

 

由f₂（x₁）=x₀，整理得  ，

 

解得　x₀=1或x₀=.