Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，公差d＝2，前n項(xiàng)和為S_n．

(Ⅰ)若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)證明：n∈N*，S_n，S_n+1，S_n+2不構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因?yàn)?I>Sn＝na＋n(n－1)， 　　S1＝a，S2＝2a＋2，S4＝4a＋12．由于S1，S2，S4成等比數(shù)列，因此 　　＝S1·S4，即得a＝1．an＝2n－1．　6分 　　(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對(duì)某個(gè)m∈N*，Sm，Sm+1，Sm+2構(gòu)成等比數(shù)列，即．因此 　　a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0， 　　要使數(shù)列{an}的首項(xiàng)a存在，上式中的Δ≥0．然而 　　Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m(2＋m)＜0，矛盾． 　　所以，對(duì)任意正整數(shù)n，Sn，Sn+1，Sn+2都不構(gòu)成等比數(shù)列．　14分

提示：

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．滿分14分．