Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）找其導(dǎo)函數(shù)，讓其大于0，找增區(qū)間，小于0找減區(qū)間，再找極值即可．
（2）原不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最小值，而有（1）知，函數(shù)f（x）的極小值即為最小值，所以問(wèn)題解決．
解答：解：（1）令函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；
令函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值且極小值為；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，即?x＞0，成立，則必須?x＞0，2a≤f（x）_min．
而由（1）知，函數(shù)f（x）的極小值即為最小值，
于是：2a≤f（x）_min=a（1-lna），解之得：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．