(滿分14分)在斜四棱柱中,已知底面
是邊長為4的菱形,
,且點
在面
上的射影是底面對角線
與AC的交點O,設(shè)點E是
的中點,
.
(Ⅰ) 求證:四邊形是矩形;
(Ⅱ) 求二面角的大小;
(Ⅲ) 求四面體
的體積.[來源:學(xué)科網(wǎng)]
(I)略 (Ⅱ) (Ⅲ)
解法一:(Ⅰ) 連接.
因為四邊形為菱形,
所以,又
面
,[所以
.
而,所以
.因為四邊形
是平行四邊形,所以四邊形
是矩形.[來源:學(xué),科,網(wǎng)]
(Ⅱ) 連接OE,因為,所以
平面
,∴
,即
為二面角
E──C的平面角.在菱形
中,
又E是的中點,
.所以
.[來源:Zxxk.Com]
在△
中,
,[來源:Z。xx。k.Com]∴
,
,[來源:學(xué)科網(wǎng)]
所以在△中,有
,即二面角E─BD─C的大小為
. 9分
(Ⅲ) 設(shè)點D到平面的距離為h,則有
.
因為是
的中點,所以
14分
解法二:(Ⅰ) 連結(jié)AC、BD相交于O,連結(jié).
由已知,有AC⊥BD,⊥面ABCD,故可建立空間直角坐標(biāo)系
,
且以下各點的坐標(biāo)分別為:, 1分
設(shè),
,
3分又
,
四邊形
為平行四邊形.
是矩形. 4分
(Ⅱ) 設(shè),則
.
, 由
可求得
∴. 設(shè)
為平面EBD的法向量,
則由,得
可取
,
. 6分
平面
平面BDC的法向量為
,
而 .
∴ 二面角E─BD─C的大小為. 9分
(Ⅲ) 設(shè)為平面
的法向量,
則由 ,得
∴ 可取,
.
到平面
的距離
. 11分
而,又由(Ⅰ)知,
,
.················ 14分
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com