Question

已知函數(shù)f(x)=x+

m

x

，且f（1）=2
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明；
（3）若f（a）＞2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（1）=2，代入可得m的值，進而求出函數(shù)的解析式，根據函數(shù)奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關系，可得函數(shù)的奇偶性
（2）任取1＜x₁＜x₂，判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，進而根據函數(shù)單調性的定義，可得函數(shù)的單調性
（3）由（1）中所得函數(shù)的解析式，構造關于a的不等式，解不等式可得答案．

解答：解：∵f(x)=x+

m

x

，且f（1）=2
∴1+m=2，解得 m=1…（1分）
（1）y=f（x）為奇函數(shù)，理由如下：…..（2分）
∵f(x)=x+

1

x

，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱…..（3分）
又f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
所以y=f（x）為奇函數(shù)…（4分）
（2）f（x）在（1，+∞）上的單調遞增，理由如下…..（5分）
設1＜x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=x2+

1

x2

-(x1+

1

x1

)=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)…（7分）
∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，1-

1

x1x2

＞0
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（1，+∞）上的單調遞增  …（9分）
（3）若f（a）＞2，
即a+

1

a

＞2，顯然a＞0
則原不等式可化為a²-2a+1=（a-1）²＞0
解得a＞0且a≠1

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，熟練掌握函數(shù)奇偶性與單調性的定義是解答的關鍵．