【題目】如圖，在多面體中，正方形所在平面垂直于平面，是等腰直角三角形，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，可證出四邊形為平行四邊形，利用等腰三角形和面面垂直的性質(zhì)得出和，最后根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出平面；

（2）由題可知，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，利用空間向量法求線面的夾角，即可得出直線與平面所成角的正弦值.

解：（1）可取中點(diǎn)，連結(jié)，

，，

，

所以四邊形為平行四邊形，

則，

由于是等腰直角三角形，

則，

而正方形所在平面垂直于平面，且，

平面，平面，

，即，而，

平面，而，

平面.

（2）易知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以的方向?yàn)?/span>軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，

，

則，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，

平面的法向量為，

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)（）一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)一次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．

（1）的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當(dāng)越大時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；

（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo).隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知.

（Ⅰ）若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚，求魚的重量在內(nèi)的概率；

（Ⅱ）（�。⿵牟稉频�100條魚中隨機(jī)挑出6條魚測(cè)量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍（單位：kg）

條數(shù)

1

3

2

為了進(jìn)一步了解魚的生理指標(biāo)情況，從6條魚中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚中體重在內(nèi)的條數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）若將選剩下的94條魚稱重做標(biāo)記后立即放生.兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在內(nèi)的魚的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚的條數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)系原點(diǎn)），點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離大1，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

①若，求直線的直線方程；

②分別過點(diǎn)，作曲線的切線且交于點(diǎn)，是否存在以為圓心，以為半徑的圓與經(jīng)過點(diǎn)且垂直于直線的直線相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，PC=2，點(diǎn)M在PB上且PB=4PM，PB與平面PCD所成角為60°.

（1）求證：面：

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大型商場(chǎng)的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

月份

1

2

3

4

5

銷量（百臺(tái)）

0.6

0.8

1.2

1.6

1.8

（1）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場(chǎng)空調(diào)的月銷量（百件）與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)6月份該商場(chǎng)空調(diào)的銷售量；

（2）若該商場(chǎng)的營(yíng)銷部對(duì)空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷，對(duì)7月到12月有購(gòu)買空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.假設(shè)該地?cái)M購(gòu)買空調(diào)的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)過營(yíng)銷部調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的500名顧客進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：

有購(gòu)買意愿對(duì)應(yīng)的月份

7

8

9

10

11

12

頻數(shù)

60

80

120

130

80

30

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中恰好有2人是購(gòu)買意愿的月份是12月的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)T．

（I）求橢圓C的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l′與直線l交于點(diǎn)P，試判斷是否為定值，若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍．實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是

A. 新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B. 新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針，某市要對(duì)全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況進(jìn)行了解，決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個(gè)樣本校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測(cè)試，并規(guī)定測(cè)試成績(jī)低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%，則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格.已知某樣本校共有1000名學(xué)生，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測(cè)試，首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組，其中甲乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3:2，測(cè)試后，兩組各自的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?/span>70，方差為16，乙組的平均成績(jī)?yōu)?/span>80，方差為36.

（1）估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績(jī)；

（2）求該樣本校40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；

（3）假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值估計(jì)該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測(cè)試是否合格？

（注：1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)；2若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布，則，，）

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