Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R），若函數(shù)f（x）在x∈[3，+∞）上是增函數(shù)，求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，對(duì)f（x）求導(dǎo)，在x∈[3，+∞）上，f′（x）≥0恒成立；由此求出a的最大值即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R），
∴f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
又∵f（x）在x∈[3，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥3時(shí)，f′（x）≥0恒成立；
即2x³-a≥0，
∴a≤2x³；
又x=3時(shí)，2x³取得最小值2×3³=54，
∴a≤54；
即a的最大值是54．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)以及求函數(shù)最值的問題，解題時(shí)應(yīng)靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求最值，是中檔題．