Question

若α，β∈R，且α≠kπ+

π

2

（k∈Z），β≠kπ+

π

2

（k∈Z），則“α+β=

2π

3

”是“（

3

tanα-1）（

3

tanβ-1）=4”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)切化弦公式，兩角和的正余弦公式將原等式化成：tan（α+β）=-

3

，這便可求出α+β=

2π

3

+kπ，這樣便會(huì)得到α+β=

2π

3

是（

3

tanα-1）（

3

tanβ-1）=4充分不必要條件．

解答： 解：(

3

tanα-1)(

3

tanβ-1)=3tanαtanβ-

3

(tanα+tanβ)+1=

3sinαsinβ

cosαcosβ

-

3 sin(α+β)

cosαcosβ

+1=4；
∴

3(sinαsinβ-cosαcosβ)

cosαcosβ

-

3 sin(α+β)

cosαcosβ

=0；
∴

-3cos(α+β)- 3 sin(α+β)

cosαcosβ

=0；
∴-3cos（α+β）=

3

sin（α+β）；
∴tan(α+β)=-

3

；
∴α+β=

2π

3

+kπ；
∴α+β=

2π

3

是（

3

tanα-1）（

3

tanβ-1）=4充分不必要條件．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：考查切化弦公式，兩角和的正余弦公式，充分不必要條件的概念，已知三角函數(shù)值求角．