在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不必證明);(Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠0時,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;(Ⅲ)當(dāng)λ=1時,試比較an與n2+1的大小,證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(Ⅰ)利用數(shù)列的遞推式分別求得a2,a3,a4,猜想出an.
(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則a1,a2,a3也成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的等比中項的性質(zhì)求得(λ-2)2+4=0,與(λ-2)2+4>0矛盾,推斷出假設(shè)不成立,故可知數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.
(Ⅲ)把λ=1代入數(shù)列遞推式,求得an,猜想出2n>n2-n+2,然后利用數(shù)學(xué)歸納法,分別看n≥4和n=k+1時結(jié)論成立.
解答:解:(Ⅰ)∵a1=2,
∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,
同理可得,a3=2λ3+8,
a4=3λ4+16,
猜想an=(n-1)λn+2n.
(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
則a1,a2,a3也成等比數(shù)列,
∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,
∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,
但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.
(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,
∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),
∵當(dāng)n=1,2,3時,2n=n2-n+2,
∴an=n2+1.
當(dāng)n≥4時,猜想2n>n2-n+2,
證明如下:當(dāng)n=4時,顯然2k>k2-4+2
假設(shè)當(dāng)n=k≥4時,猜想成立,即2k>k2-k+2,
則當(dāng)n=k+1時,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),
∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]
=(k-1)(k-2)>0
∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,
∴當(dāng)n≥4時,猜想2n>n2-n+2成立,
∴當(dāng)n≥4時,an>n2+1.
點評:本題主要考查了數(shù)列的遞推式.考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.