Question

已知數(shù)列{a_n}，且是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)．?dāng)?shù)列{a_n}中a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記，當(dāng)t=2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)極值的定義得出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵要確定出相關(guān)數(shù)列為特殊數(shù)列，從而達(dá)到求解的目的；
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)已知條件確定出關(guān)于n的不等式，通過(guò)解不等式求出正整數(shù)n的最小值；
（3）首先要確定出c_n的表達(dá)式，利用分析法完成不等式的證明，注意約分思想的運(yùn)用．
解答：解：（1）f′（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
所以．整理得：a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）．
當(dāng)t=1時(shí)，{a_n-a_n-1}是常數(shù)列，得a_n=1；
當(dāng)t≠1時(shí)，{a_n-a_n-1}是以a₂-a₁=t²-t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，所以a_n-a_n-1=（t²-t）•t^n-2=（t-1）•t^n-1
由上式得：a_n-tⁿ=a_n-1-t^n-1，所以{a_n-tⁿ}是常數(shù)列，a_n-tⁿ=a₁-t=0，a_n=tⁿ（n≥2）．又，當(dāng)t=1時(shí)上式仍然成立，故a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）當(dāng)t=2時(shí)，∴
=．

由S_n＞2010，得，，
當(dāng)，
因此n的最小值為1006．
（3）且，所以等價(jià)于等價(jià)于
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213518058821344/SYS201310232135180588213021_DA/12.png">，
所以，從而原命題得證．
點(diǎn)評(píng)：本題屬于函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問(wèn)題，首先通過(guò)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，得出數(shù)列某些項(xiàng)之間的關(guān)系，然后利用數(shù)列的知識(shí)實(shí)現(xiàn)求通項(xiàng)和求前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查分析法證明不等式的思想和意識(shí)．