數(shù)列{an}中，an+1=
an2
2an-2
，n∈N*．
（I）若a1=
9
4
，設(shè)bn=log
1
3
an-2
an
，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若a1＞2，n≥2，n∈N，用數(shù)學(xué)歸納法證明：2＜an＜2+
a1-2
2n-1
．
分析：（I）由題意知bn+1=2bn，b1=log
1
3
a1-2
a1
=2，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此可log
1
3
an-2
an
=2n，所以an=
2
1-(
1
3
)2n
．
（II）根據(jù)題設(shè)條件利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（I）證明：
∵bn+1=log
1
3
an+1-2
an+1
=log
1
3
a
2
n
2an-2
-2
a
2
n
2an-2
=log
1
3
(
an-2
an
)2=2log
1
3
(
an-2
an
)=2bn，
（2分）
∵b1=log
1
3
a1-2
a1
=2，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，（4分）

∴bn=2n，即log
1
3
an-2
an
=2n，得
an-2
an
=(
1
3
)2n，所以an=
2
1-(
1
3
)2n
．（6分）
（II）證明：（i）當(dāng)n=2時(shí)，∵a1＞2，
∴a2-2=
a
2
1
2a1-2
-2=
(a1-2)2
2a1-2
＞0，
∴a2-2-
a1-2
2
=
(a1-2)2
2a1-2
-
a1-2
2
=
2-a1
2(a1-1)
＜0，
∴2＜a2＜2+
a1-2
21
，不等式成立；（8分）
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，2＜ak＜2+
a1-2
2k-1
成立，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，去證明2＜ak+1＜2+
a1-2
2k

∵ak+1-2=
ak
2ak-2
-2=
(ak-2)2
2(ak-1)
＞0，
∴ak+1＞2；
∵ak+1-2-
a1-2
2k
=
(ak-2)2
2(ak-1)
-
a1-2
2k
＜
(ak-2)2
2(ak-2)
-
a1-2
2k
=
ak-2
2
-
a1-2
2k
，
ak-2
2
-
a1-2
2k
＜
2+
a1-2
2k-1
-2
2
-
a1-2
2k
=0
∴ak+1＜2+
a1-2
2k
；
∴2＜ak+1＜2+
a1-2
2k
，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟，注意解題的嚴(yán)密性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，如果對(duì)任意n∈N+都有
an+2-an+1an+1-an
=p（p為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{an}為“等差比”數(shù)列，p叫數(shù)列{an}的“公差比”．現(xiàn)給出如下命題：
（1）等差比數(shù)列{an}的公差比p一定不為零；
（2）若數(shù)列{an}（n∈N+）是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}一定是等差比數(shù)列；
（3）若等比數(shù)列{an}是等差比數(shù)列，則等比數(shù)列{an}的公比與公差比相等．
則正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•南京一模）已知函數(shù)f（x）=2+
1
x
．?dāng)?shù)列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列{an}，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列1，3，
7
3
，
17
7
，…；當(dāng)a=-
1
2
時(shí)，得到有窮數(shù)列-
1
2
，0．
（1）求a的值，使得a3=0；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=-
1
2
，bn=f(bn+1)(n∈N*)，求證：不論a取{bn}中的任何數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{an}；
（3）求a的取值范圍，使得當(dāng)n≥2時(shí)，都有
7
3
＜an＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•安徽模擬）數(shù)列{an}中，a1=
5
7
，an+1=2-
1
an
(n∈N*)；數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an-1
(n∈N*)．
（I）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）求{an}中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

關(guān)于數(shù)列有下列四個(gè)判斷：
①若a，b，c，d成等比數(shù)列，則a+b，b+c，c+d也成等比數(shù)列；
②若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…也成等比數(shù)列；
③若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則{an}為常數(shù)列；
④數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且數(shù)學(xué)公式，則{an}為等差或等比數(shù)列；
⑤數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{an}中不會(huì)有am=an（m≠n）．
其中正確命題的序號(hào)是________．（請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T使得an=an+T對(duì)于任意非零自然數(shù)n均成立，那么就稱(chēng)數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期，已知數(shù)列{an}滿足an+1=|anan1|（n≥2，n∈N），如果a1=1，a2=a(a∈R,a≠0)，當(dāng)數(shù)列{an}的周期最小時(shí)，該數(shù)列前2005項(xiàng)的和是                                                  

A．668                     B．669                    C．1336                  D．1337

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